У меня имеется небольшой вопрос. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (bn) с положительными членами, зная, что b2=0,04 и b4= 0,16.
Дано: (bn
) - геометрическая прогрессия;
b2
= 0,04; b4
= 0,16;
Найти: S
9
- ?
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
bn
= b1
* q^(n – 1),
где b1
– первый член прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов;
Согласно этой формуле выразим второй, четвертый члены заданной прогрессии:
b2
= b1
* q^(2 – 1) = b1
* q;
b4
= b1
* q^(4 – 1) = b1
* q^3.
Составим систему уравнений:
b1
* q = 0,04, (1)
b1
* q^3 = 0,16 (2)
Из (1) уравнения системы выразим b1
:
b1
= 0,04 / q;
Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:
0,04 / q * q^3 = 0,16;
0,04 * q^2 = 0,16;
q^2 = 4;
q = ±2.
Сразу определяем, что из двух полученных, заданной прогрессии удовлетворяет положительное значение знаменателя, т.к. по условию геометрическая прогрессия (bn
) с положительными членами.
Подставляем полученное значение знаменателя прогрессии в выражение для нахождения первого члена:
b1
= 0,04 / 2;
b1
= 0,02.
Запишем формулу девятого члена прогрессии:
b9
= b1
* q^(9 – 1) = b1
* q^8 = 0,02* 2^8 = 256.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
Sn
= (bn
* q – b1
) / (q – 1),
т.о. S9
= (b9
* q – b1
) / (q – 1) = (256 * 2 – 0,02) / (2 – 1) = 511,98.
Ответ: S9
= 511,98.