У меня возник вопрос. Точка S удалена от всех сторон, равностороннего треугольника на 17 см. Найдите радиус окружно-сти, вписанной в этот треугольник, если расстояние от точки S до плоскости треугольника равно 15
Для решения построим рисунок (https://bit.ly/48MMs1k).
Так как точка S равноудалена от вершин треугольника АВС, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около треугольника АВС окружности, а так как треугольник АВС равносторонний, то и в центр вписанной окружности.
Тогда точка О центр пересечения высот, биссектрис и медиан.
В прямоугольном треугольнике АSO, по теореме Пифагора, AO^2 = AS^2 – SO^2 = 289 – 225 = 64.
AO = 8 см.
Тогда ОН = r = AO/2 = 8/2 = 4 см.
Ответ: Радиус вписанной окружности 4 см.
-------
Дано: расстояние от точки S до равностороннего треугольника - 17 см, расстояние от точки S до плоскости треугольника - 15 см.
Пусть радиус описанной окружности равно R, а радиус вписанной окружности равно r.
Так как точка S удалена от всех сторон треугольника на 17 см, то она лежит вне этого треугольника. Таким образом, точка S является центром описанной окружности.
Так как точка S также удалена от плоскости треугольника на 15 см, а описанная окружность касается каждой из сторон треугольника, то радиус описанной окружности равен сумме радиуса вписанной окружности и расстояния от центра вписанной окружности до плоскости треугольника:
R = r + 15
Также, так как треугольник равносторонний, все стороны треугольника равны друг другу. Пусть a - длина одной из сторон треугольника. Тогда
a = 2Rsin(30°) = 2R * 0.5 = R
Таким образом, длина стороны, равна радиусу описанной окружности. Подставим это в формулу для радиуса описанной окружности:
R = r + 15
R = r + 15
R = R
15 = r
Радиус вписанной окружности равен 15 см.